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# ### 94. Min-Cost Flow问题详解与Python代码示例

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# #### 问题描述

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# Min-Cost Flow问题，即最小费用流问题，是网络流问题的一个经典变种。在这个问题中，我们有一个有向图，图中的每条边不仅有一个容量限制，还有一个单位流量的成本。我们的目标是在满足所有节点的供需关系（即流量守恒）的前提下，找到一种从源点到汇点的流量分配方式，使得总成本最小。

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# #### 解决方案

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# 为了解决这个问题，我们可以使用最小费用流算法，如Ford-Fulkerson算法结合SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）或Dijkstra算法来寻找增广路。这些算法的基本思想是，在每次迭代中，找到一条从源点到汇点的最短路径（这里的“最短”是指成本最小），然后沿着这条路径增加流量，直到达到某条边的容量限制或无法再增加流量为止。重复这个过程，直到无法再找到增广路为止，此时就得到了最小费用流。

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# #### Python代码示例

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# 下面是一个使用NetworkX库和Simplex算法（虽然Simplex算法不是基于增广路的算法，但它也是解决最小费用流问题的有效方法）来解决最小费用流问题的Python代码示例：

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import networkx as nx

from networkx.algorithms import flow



# 创建一个有向图

G = nx.DiGraph()



# 添加边和对应的容量、成本

edges = [

    (('s', 'a'), 16, 10),

    (('s', 'b'), 13, 5),

    (('a', 'c'), 12, 4),

    (('a', 'd'), 20, 1),

    (('b', 'c'), 4, 15),

    (('b', 'd'), 14, 11),

    (('c', 't'), 24, 9),

    (('d', 't'), 22, 7),

]

for u, v, cap, cost in edges:

    G.add_edge(u, v, capacity=cap, weight=cost)



# 设置源点和汇点

source = 's'

sink = 't'



# 设置节点的需求（正数表示需求，负数表示供应）

demand = {'s': -30, 'a': 0, 'b': 0, 'c': 0, 'd': 0, 't': 30}



# 使用NetworkX的min_cost_flow函数求解最小费用流

flow_cost, flow_dict = flow.min_cost_flow_cost(G, source, sink, capacity='capacity', weight='weight', demand=demand)



# 输出结果

print(f"最小费用流的总成本为: {flow_cost}")

print("流量分配如下:")

for u, v, data in G.edges(data=True):

    if flow_dict[u][v] > 0:

        print(f"{u} -> {v}: {flow_dict[u][v]}")



# 注意：NetworkX的min_cost_flow_cost函数直接返回最小费用，而min_cost_flow函数返回流量字典和费用
